2차원에서의 거리함수에 관한 탐구

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우리학교에서는 '수학과제탐구'라는 과목을 선택할 수 있다. 나는 그걸 선택했고, '나만의 거리함수 만들기'가 주제로 주어졌다. 그래서 나는 거리함수를 좀 더 일반적으로 만들어낼 수 있는 방법에 대해 탐구했다.

 

처음에는 그냥 거리함수 조건을 만족하는 두가지 함수를 찾았었다. $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$에 대해 $d(A,B) = \log(\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}+1)$과 

\[\begin{align}d(A,B) = \begin{cases}1 &(A \neq B) \\0 &(A = B)\end{cases}\end{align}\]

이렇게 두개를 찾았었는데, 그중 저 로그함수가 들어간 거리에 대해 생각하다가, 거리함수를 유클리드 거리를 받아서 새로운 값을 내놓는 함수로 볼 수 있다는 생각을 했다. 거기서 좀 막혀있다가, 억지로 삼각부등식을 만족하도록 하면 되겠다는 생각이 나서 탐구를 했다($f(a+b) \leq f(a) + f(b)$가 억지로 삼각부등식을 만족하도록 하게 한 것이다.) 마침 백신맞고 낮잠을 잤던터라 밤에 잠도 안 와서 신나서 탐구를 했다. 

사실 10월 25일(이거 생각나기 전날)에 발표를 저 로그거리와 이산거리에 대해서 발표를 했었는데, 이거 생각하고 너무 신나서 10월 27일에 이걸로 다시 발표했다.