비행기가 가장 빠르게 상승하기 위한 경로(변분법)

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학교 수학주제탐구에서 한 것이다. 주제를 변분법으로 잡은 이유는, 작년 말에
https://gratus907.com/87

BOJ 14347 / 14346 Radioactive Islands

에서 변분법이라는 것의 존재를 알게되었는데, 최적화된 '함수'를 찾아낸다는 것이 매력적이었다. 그래서 언젠가 써본다고 벼르고 있었는데, 수학주제탐구때 해버렸다. 원래 친구들이랑 같이 하는 건데, 마침 우리 조는 보고서를 변분법이라는 큰 주제를 잡고 각자 하고 싶은 것을 변분법을 이용해서 탐구하는 형식이어서, 내가 한 부분만 올렸다(다른 친구들은 에너지 최소임을 이용해서 현수선을 유도하는 것과, 사이클로이드가 최속강하곡선임을 보이는 것이 주제였다.) $\LaTeX$으로 각자 파일을 분리해뒀어서 내가 한 부분만 올리는게 매우 간편했다. $\LaTeX$최고!

비행기가 가장 빠르게 상승하기 위한 경로를 주제로 잡은 이유는 일단 '워썬더'라는 내가 즐겨했던 게임 때문이다(-3000라이온 찍고 접었다.)
나는 미국 비행기를 타는데, 미국 비행기는 고도를 올리는게 중요하다. 그래서 이 주제가 생각났고, 사이클로이드와 비슷한 방식으로 할 수 있지 않을까?라는 엇나간 생각도 있었다.

비행기에 작용하는 4가지 힘을 모델링해보니, 계산량이 끔찍했다. 진짜 귀찮아서 미치는줄 알았다.
이것도 항력계수(속도에 관한 함수), 양력계수(속도에 관한 함수), 공기 밀도(고도에 관한 함수), 비행기 무게(이동거리에 관한 함수) 등을 상수로 두고 해서 풀 수 있었다. 이것들을 함수로 두었으면 풀지 못 했을 것 같다.

사실 마지막 결론은 논리적 비약이 심한데(근이 하나라는 것), 제출기한이 안 남아서 지오지브라 돌려보고 맞겠지~하고 내버렸다. 나중에 좀 더 채워야겠다.
구간 $[0, x] (0 <x < \frac{\pi}{2})$에서 함수가 일대일 대응임을 보이고, 사잇값정리를 이용해서 저 구간에서 근을 하나만 가짐을 보이고, $[x, \frac{\pi}{2}]$에서는 함숫값이 0보다 작음을 보이면 되지 않을까.. 하고 생각하고 있다.

수학독서여행, 거리함수, 삼차함수, 종이/책 같이 떨어질 조건, 비행기가 가장 빠르게 상승하기 위한 경로 탐구 모두 뭔가 내가 새로운 것을 탐구해보고 싶어서 해본 것이다. 솔직히 좀 자랑스럽다. 뭐 원래 있었다 하더라도(사실 거의 다 이미 알려져있을 것 같긴 하다..) 내가 뭔가를 스스로 찾아냈다는 게 뿌듯하다. 개인적으로는 '대칭:갈루아 유언', '프리드버그 선형대수학'을 읽은게 많이 도움이 됐던 것 같다(책 내용을 잘 이해했냐와 별개로.. 프리드버그 선형대수는 내적가니까 진짜 뭔 소린지 모르겠다.) 앞으로 공부를 좀 열심히 해야겠다는 생각이 든다.